Question

在一次研究性学习活动中，某小组将两张互相重合的正方形纸片ABCD和EFGH的中心O用图钉固定住，保持正方形ABCD不动，顺时针旋转正方形EFGH，如图所示．

(1)小组成员经观察、测量，发现在旋转过程中，有许多有趣的结论．下面是旋转角度小于90°时他们得到的一些猜想：

①ME＝MA；

②两张正方形纸片的重叠部分的面积为定值；

③∠MON保持45°不变．

请你对这三个猜想作出判断(正确的在序号后的括号内打上“√”，错误的打上“×”)：

①(　　)；②(　　)；③(　　)．

(2)上面的三个猜想中若有正确的，请选择其中的一个给予证明；若都是错误的，请选择其一说明理由．

(3)小组成员还发现：(1)中的△EMN的面积S随着旋转角度∠AOE的变化而变化．请你指出当旋转角∠AOE为多少度时△EMN的面积S取得最大值．(不必证明)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)①(√)；②(×)；③(√)．　3分 　　(2)证明：对于猜想①， 　　连结OA、OE、AE．由已知得OA＝OE， 　　∴∠OAE＝∠OEA． 　　又∵∠OAM＝∠OEM＝45°， 　　∴∠OAE－∠OAM＝∠OEA－∠OEM， 　　即∠MAE＝∠MEA．∴ME＝MA．　3分 　　对于猜想③， 　　证得OM平分∠EOA，同理ON平分∠DOE， 　　∠MOE＋∠NOE＝∠AOD＝×90°＝45°， 　　即∠MON保持45°不变．　3分 　　(3)当∠AOE＝45°时，△EMN的面积S取得最大值．　2分