Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值。

Answer 1

（1）∠ABD=30°-a;（2）△ABE是等边三角形（证明见解析）;（3）a=30°.

试题分析：（1）在等腰三角形中,顶角和底角的关系是∠B=(180°-∠A),∵AB=AC，∴∠ABC=∠C, ∵∠BAC=,∴∠ABC=(180°-a),∴∠ABD=∠ABC -60°=30°-a;（2）直观上看△ABE是等边三角形,而且有一个角是60°,只需要证明AB=BE即可,找到包含这两条线段的三角形△ABD和△BCE,故连接AD,CD,因为∠ABE=60°, ∠ABD=30°-a,∠DBE=30°+a,又因为∠DBC=60°,所以∠CBE=30°
-a=∠ABD,因为∠DBC=60°,BD=BC,所以△BDC是等边三角形,所以BD=CD,在△ABD和△ACD中,AB=AC,
BD=CD,AD=AD,所以△ABD≌△ACD,所以∠BAD=∠CAD=a,在△BCE中,∠BCE=150°，∠CBE=30°-a,∠BEC=a=∠BAD,在△ABD和△CBE中, ∠BEC=∠BAD, ∠CBE=∠ABD,AB="AC" ,所以△ABD≌△CBE,所以AB=BE;（3）由(2)知△BDC是等边三角形,所以∠BCD=60°,因为∠BCE=150°，所以∠DCE=90°,因为∠DEC=45°,所以△DCE是等腰直角三角形,所以CD=CE=BC,在△BCE中, ∠BCE=150°，所以∠CBE=30°
-a=15°, 所以a=30°.
试题解析：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C,
∵∠BAC=,
∴∠ABC=(180°-a),
∴∠ABD=∠ABC -60°=30°-a;
（2）故连接AD,CD,
∵∠ABE=60°, ∠ABD=30°-a,∠DBE=30°+a,
又∵∠DBC=60°,
∴∠CBE=30°-a=∠ABD,
∵∠DBC=60°,BD=BC,
∴△BDC是等边三角形,
∴BD=CD,
在△ABD和△ACD中,AB=AC,BD=CD,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD,
∴∠BAD=∠CAD=a,
在△BCE中,∠BCE=150°，∠CBE=30°-a,∠BEC=a=∠BAD,
在△ABD和△CBE中, ∠BEC=∠BAD, ∠CBE=∠ABD,AB="AC" ,
∴△ABD≌△CBE,
∴AB=BE;
（3）由(2)知△BDC是等边三角形,
∴∠BCD=60°,
∵∠BCE=150°，
∴∠DCE=90°,
∵∠DEC=45°,
∴△DCE是等腰直角三角形,
∴CD=CE=BC,在△BCE中, ∠BCE=150°，
∴∠CBE=30°-a=15°,
∴a=30°.