Question

【题目】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设 = ， = ．求：
（1）向量 （用向量 、 表示）；
（2）tanB的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

∴AC平分∠DCB，

∴∠DCA=∠ACB，

∴∠DAC=∠DCA，

∴AD=DC，

∵DE∥AB，AB⊥AC，

∴DE⊥AC，

∴AF=CF，

∴BE=CE，

∵AD∥BC，DE∥AB，

∴四边形ABED是平行四边形，

∴DE=AB，

∴ = = ， = = ，

∴ = + ．

（2）解：∵∠DCF=∠ACB，∠DFC=∠BAC=90°，

∴△DFC∽△BAC，

∴ = = ，

∵CD=AD=3，∴BC=6，

在Rt△BAC中，∠BAC=90°，

∴AC= = =2 ，

∴tanB= = = ．

【解析】（1）首先证明四边形ABED是平行四边形，推出DE=AB，推出 = = ， = = ， = + ．（2）由△DFC∽△BAC，推出 = = ，求出BC，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，根据AC= = =2 ，由tanB= ，即可解决问题．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用梯形的定义和解直角三角形的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形．两腰相等的梯形是等腰梯形；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．