Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设点P的运动时间为t秒．

（1）则AC=______cm；

（2）当BP平分∠ABC，求此时点P的运动时间t的值；

（3）点P运动过程中，△BCP能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）；（3）t为s或s或3s或s时，△BCP为等腰三角形.

【解析】

(1)直接由勾股定理得，可得AC的值；

（2）作PE⊥AB于E，可得△BPE≌△BPC，可得BE=BC=3，PE=PC，AE=5-BE=2，AP=4-PC，在Rt△AEP中，AP2=AE2+EP2，即（4-PC）2=22+PC2，可得PC的值，可得时间.

(3)分CP=CB，BP=BC=3，CP=CB=3，PC=PB 几种情况讨论可得t的值.

解：（1）由勾股定理得，AC==4（cm），

故答案为：4；

（2）作PE⊥AB于E，

在△BPE和△BPC中，

，

∴△BPE≌△BPC（AAS）

∴BE=BC=3，PE=PC，

∴AE=5-BE=2，AP=4-PC，

在Rt△AEP中，AP2=AE2+EP2，即（4-PC）2=22+PC2，

解得，PC=，

当BP平分∠ABC时，点P的运动时间t=÷2=秒；

（3）如图2，当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，

若点P在CA上，则2t=3，

解得t=（s）；

如图3，当BP=BC=3时，△BCP为等腰三角形，

∴AP=AB-BP=2，

∴t=（4+2）÷2=3（s）；

如图4，若点P在AB上，CP=CB=3，作CD⊥AB于D，则根据面积法求得CD=，

在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=，

∴PB=2BD=

∴CA+AP=4+5-=5.4，

此时t=5.4÷2=2.7（s）；

如图5，当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则BD=CD，

∴PD为△ABC的中位线，

∴AP=BP=AB=，

∴t=（4+）÷2=（s）；

综上所述，t为s或s或3s或s时，△BCP为等腰三角形；