Question

如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为2和1，AE的延长线与CG交于点P．
（1）求证：AP⊥CG；
（2）求EP的长．

Answer 1

解：（1）∵正方形ABCD和正方形DEFG，
∴AD=DC，∠ADC=∠CDG=90°，ED=DG，
在△ADE和△CDG中，
∵
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DCG=∠DAE；
∵∠DCG+∠CGD=90°，
∴∠GAP+∠PGD=90°，
∴∠APG=180°-（∠GAP+∠PGD）=180°-90°=90°，
∴AP⊥GC；

（2）∵AD=2，DE=1，
∴AE==，
在△ADE和△CPE中，
∵∠AED=∠PEC，∠EAD=∠ECP，
∴△ADE∽△CPE，
∴=，
∴=，
∴EP=．
分析：（1）在△ADE和△CDG中，根据全等三角形的判定得出△ADE≌△CDG，即可得出∠DCG=∠DAE，再根据∠DCG+∠CGD=90°，得出∠GAP+∠PGD=90°，从而得出∠APG=90°，即可证出AP⊥GC；
（2））根据勾股定理AD=2，DE=1，得出AE的值，再在△ADE和△CPE中，∠AED=∠PEC，∠EAD=∠ECP，得出△ADE∽△CPE，即可得出=，从而得出EP的长．
点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判断与性质、勾股定理，熟记这些知识点是解题的关键．