Question

如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且∠BAE=∠DCF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC⊥EF，试判断四边形AECF是什么特殊四边形，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）∵在平行四边形ABCD中，
∴∠B=∠D，AB=CD，
又∵∠BAE=∠DCF．
∴△ABE≌△CDF；

（2）∵△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，
∴BC-BE=AD-FD，
∴EC=AF，
∵AD∥BC，
∴∠FAC=∠ECA，∠CEF=∠AFE，
∴△AOF≌△COE，
∴AO=CO，EO=FO，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
分析：（1）平行四边形的对边相等，对角相等，即∠B=∠D，AB=CD，根据已知给出的∠BAE=∠DCF，可证明两个三角形全等．
（2）可先证明四边形AECF中对角线的关系，根据AC⊥EF，从而判断出到底是什么特殊的四边形．
点评：本题考查了平行四边形的判定和性质，平行四边形的对边平行且相等，对角相等，全等三角形的判定和性质，菱形的判定．