题目内容

以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．
（1）如图①当△ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是
AM⊥DE
AM⊥DE
，线段AM与DE的数量关系是
DE=2AM
DE=2AM
；
（2）将图①中的等腰Rt△ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ°（0＜θ＜90）后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
分析：（1）ED=2AM，AM⊥ED．延长AM到G，使MG=AM，连BG，则ABGC是平行四边形，再结合已知条件可以证明△DAE≌△ABG，根据全等三角形的性质可以得到DE=2AM，∠BAG=∠EDA，再延长MG交DE于H，因为∠BAG+∠DAH=90°，所以∠HDA+∠DAH=90°这样就证明了AM⊥ED；
（2）延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连接BF，证出△FAB≌△EAD，利用相似三角形的性质得到BF=DE，∠F=∠AEN，从而证出∠FPD+∠F=∠APE+∠AEN=90°，得到FB⊥DE，根据AM∥FB，可得到AM=
1
2
FB．
解答：（1）ED=2AM，AM⊥ED；
证明：延长AM到G，使MG=AM，连BG，则ABGC是平行四边形，再延长MA交DE于H．
∴AC=BG，∠ABG+∠BAC=180°
又∵∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ABG=∠DAE．
再证：△DAE≌△ABG
∴DE=2AM，∠BAG=∠EDA．
延长MA交DE于H，
∵∠BAG+∠DAH=90°，
∴∠HDA+∠DAH=90°．
∴AM⊥ED．

（2）结论仍然成立．
证明：如图，延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连接BF．
∵DA⊥BA，EA⊥AF，
∴∠BAF=90°+∠DAF=∠EAD．
∵在△FAB和△EAD中，
FA=AE
∠BAF=∠EAD
BA=DA

∴△FAB≌△EAD（SAS）
∴BF=DE，∠F=∠AEN，
∴∠FPD+∠F=∠APE+∠AEN=90°．
∴FB⊥DE．
又∵CA=AF，CM=MB．
∴AM∥FB，且AM=
1
2
FB，
∴AM⊥DE，AM=
1
2
DE．
点评：本题考查了旋转的性质和相似三角形的性质，利用旋转不变性找到三角形全等的条件．此题综合性较强，要注意观察图象的特点．
练习册系列答案
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（2012•浦口区一模）提出问题：
如图，在△ABC中，∠A=90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，小亮发现△ABC与△AEG面积相等．小亮思考：这个问题中，如果∠A≠90°，那么△ABC与△AEG面积是否仍然相等？
猜想结论：
经过研究，小亮认为：上述问题中，对于任意△ABC，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE 和正方形 ACFG，连接EG，那么△ABC与△AEG面积相等．
证明猜想：
（1）请你帮助小亮画出图形，并完成证明过程．已知：以△ABC的两边AB、AC为边长分别向外作正方形ABDE、ACFG，连接GE．求证：S△AEG=S△ABC．
结论应用：
（2）学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，其中四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，且面积分别为9m2、5m2和4m2．求这个六边形花圃ABIHFE的面积．
如图，以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连接BD、CE，相交于O．
（1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由；
（2）求出BD和CE的夹角大小，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由．
以△ABC的两边AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG．△ABC的高为AH．求证：AH，BF，CD交于一点．

如图,以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连结BD、CE，相交于O.（1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由；（2）求出BD和CE的夹角大小，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由.

 

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