Question

（本小题满分8分）

已知抛物线y＝ax²＋bx＋6与x轴交于A、B两点（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，且OB=OC，tan∠ACO=，顶点为D．

1.（1）求点A的坐标．

2.（2）求直线CD与x轴的交点E的坐标.

3.（3）在此抛物线上是否存在一点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

4.（4）若点M（2，y）是此抛物线上一点，点N是直线AM上方的抛物线上一动点，当点N运动到什么位置时，四边形ABMN的面积S最大? 请求出此时S的最大值和点N的坐标．

5.（5）点P为此抛物线对称轴上一动点，若以点P为圆心的圆与（4）中的直线AM及x轴同时相切，则此时点P的坐标为       .

 

Answer 1

【答案】

 

1.解：（1）根据题意，得C（0,6）.

在Rt△AOC中，，OC＝6，

∴OA＝1. ∴A（－1,0）

2.（2）∵，∴OB＝3.  ∴B（3,0）.

由题意，得   解得

∴.

∴D（1,8）.    ……………………………………………………………………2分

可求得直线CD的解析式为.

∴E（－3,0）.

3.（3）假设存在以点A、C、F、E为顶点的平行四边形，

则F₁（2,6），F₂（－2,6），F₃（－4,－6）.

经验证，只有点（2,6）在抛物线上，

∴F（2,6）

4.（4）如图，作NQ∥y轴交AM于点Q，设N（m, ）.

当x＝2时，y＝6，∴M（2,6）.

可求得直线AM的解析式为.

∴Q（m，2m＋2）.

∴NQ＝.

∵，其中，

∴当最大时，值最大.

∵

,

,

.

∴当时，的最大值为.

∴的最大值为.……………………………………………………………………6分

当时，. 

∴N（，）.  

5.（5）P₁（1，），P₂（1，）.  …………………………………………8分

说明：写成P₁（1，），P₂（1，）不扣分

【解析】略