Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+m经过点A（﹣2，n），B（1， ），抛物线y=x2﹣2tx+t2﹣1与x轴相交于点C，D．

（1）求点A的坐标；

（2）设点E的坐标为（，0），若点C，D都在线段OE上，求t的取值范围；

（3）若该抛物线与线段AB有公共点，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（﹣2，3）；（2）1≤t≤；（3）﹣4≤t≤或0≤t≤．

【解析】（1）根据已知条件解方程即可得到结论；

（2）当y=0时，即x2﹣2tx+t2﹣1=0，得到C（t﹣1，0），D（t+1，0），解不等式组即可得到结论；

（3）当抛物线经过点A时，解方程得到t1=﹣4，t2=0，即当t=﹣4时，点A在抛物线的对称轴的右侧，当t=0时，点A在对称轴的左侧，当抛物线经过点B时解方程得到t1=，t2=，即当t=时，点B在抛物线的对称轴的右侧，当t=时，点B在对称轴的左侧，于是得到结论．

解：（1）∵直线y=﹣x+m经过点A（﹣2，n），B（1，），

∴=﹣+m，

∴m=，

∴直线的解析式为y=﹣x+，

∴n=﹣×（﹣2）+=3，

∴A的坐标（﹣2，3）；

（2）当y=0时，即x2﹣2tx+t2﹣1=0，

解得：x1=t﹣1，x2=t+1，

∴C（t﹣1，0），D（t+1，0），

∵点C，D都在线段OE上，

∴0≤t﹣1＜t+1≤，即，

∴1≤t≤，

∴t的取值范围是1≤t≤；

（3）当抛物线经过点A时，3=4+4t+t2﹣1，

解得：t1=﹣4，t2=0，

即当t=﹣4时，点A在抛物线的对称轴的右侧，当t=0时，点A在对称轴的左侧，

当抛物线经过点B时， =1﹣24t+t2﹣1，

解得：t1=，t2=，

即当t=时，点B在抛物线的对称轴的右侧，当t=时，点B在对称轴的左侧，

∵抛物线与线段AB有公共点，

∴t的取值范围为：﹣4≤t≤或0≤t≤．

“点睛”本题考查了待定系数法求函数的解析式，方程和不等式的解法，二次函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．