Question

如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．
（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠F=，CD=a，请用a表示⊙O的半径；
（3）求证：GF²-GB²=DF•GF．

Answer 1

（1）证明：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵OA⊥CD，
∴∠OAB+∠AGC=90°，
又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC，
∴∠FBG+∠OBA=90°，
即∠OBF=90°，
∴OB⊥FB，
∵AB是⊙O的弦，
∴点B在⊙O上，
∴BF是⊙O的切线；

（2）解：∵AC∥BF，
∴∠ACF=∠F，
∵CD=a，OA⊥CD，
∴CE=CD=a，
∵tan∠F=，
∴tan∠ACF==，
即=，
解得AE=a，
连接OC，设圆的半径为r，则OE=r-a，
在Rt△OCE中，CE²+OE²=OC²，
即（a）²+（r-a）²=r²，
解得r=a；

（3）证明：连接BD，
∵∠DBG=∠ACF，∠ACF=∠F（已证），
∴∠DBG=∠F，
又∵∠FGB=∠BGF，
∴△BDG∽△FBG，
∴=，
即GB²=DG•GF，
∴GF²-GB²=GF²-DG•GF=GF（GF-DG）=GF•DF，
即GF²-GB²=DF•GF．
分析：（1）根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA，然后根据OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°推出∠FBG+∠OBA=90°，从而得到OB⊥FB，再根据切线的定义证明即可；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ACF=∠F，根据垂径定理可得CE=CD=a，连接OC，设圆的半径为r，表示出OE，然后利用勾股定理列式计算即可求出r；
（3）连接BD，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG=∠F，从而求出△BDG和△FBG相似，根据相似三角形对应边成比例列式表示出BG²，然后代入等式左边整理即可得证．
点评：本题是圆的综合题型，主要考查了切线的证明，解直角三角形，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键，（3）的证明比较灵活，想到计算整理后得证是解题的关键．