题目内容
5、传说从前有一个虔诚的信徒，他是集市上的一个小贩．每天他都要从家所在的点A出发，到集市点B，但是，到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像．古堡是座圣城，阿波罗像供奉在古堡的圆心点O，而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图．这个信徒想，我怎样选择朝拜点，才能使从家到朝拜点，然后再到集市的路程最短呢？分析：在圆周上选一点P，过P作⊙O的切线MN，使得∠APK=∠BPK，即α=β．那么朝圣者沿A→P→B的路线去走，距离最短．
解答：
证明：如图，在圆周上除P点外再任选一点P′．
连接BP′与切线MN交于R，AR+BR＞AP+BP．
∵RP′+AP′＞AR．
∴AP′+BP′=AP′+RP′+RB＞AR+BP＞AP+BP．
不过，用尺规作图法求点P的位置至今没有解决．
“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”，
解决它的方法是采用“等角原理”．
证明：如图，在圆周上除P点外再任选一点P′．连接BP′与切线MN交于R，AR+BR＞AP+BP．
∵RP′+AP′＞AR．
∴AP′+BP′=AP′+RP′+RB＞AR+BP＞AP+BP．
不过，用尺规作图法求点P的位置至今没有解决．
“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”，
解决它的方法是采用“等角原理”．
点评：本题考查了切线的性质，以及尺规作图，综合性较强，难度较大．
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