题目内容

如图，在平行四边形ABCD中，已知AD= $数学公式$ ，∠DAB=45°，AB=3，如果把该平行四边形折叠，点A恰好与点C重合，那么折痕EF的长为________．

$\text{[math]}$
分析：由于已知∠DAB=45°，AD= $\text{[math]}$ ，可以构造45°的直角三角形△ADG，利用勾股定理可求AG、GD，由折叠可证四边形AECF为菱形，利用勾股定理，在Rt△AGE中求菱形边长，在Rt△AGC中求菱形对角线AC的长，根据菱形计算面积的两种方法，建立等式求EF．
解答：

解：如图，过A点作CD的垂线，与CD的延长线交于G点，连接AE，CF，
∵AD= $\text{[math]}$ ，∠DAB=45°，
∴△ADG为等腰直角三角形，AG=GD=1，
设AE=x，由折叠可知，EC=AE=x，DE=3-x，
在Rt△AGE中，由勾股定理得：AG²+GE²=AE²，
即：1²+（1+3-x）²=x²，解得x= $\text{[math]}$ ；
在Rt△AGC中，由勾股定理得：
AC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵EF⊥AC，根据菱形AECF计算面积的方法可知，
AG×EC= $\text{[math]}$ ×EF×AC，即1× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×EF× $\text{[math]}$ ，
解得：EF= $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等；同时，考查了构造直角三角形，运用勾股定理解题的方法．