Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AM为∠BAC的平分线，若点M到AC的距离为2，则△AMC的面积为________．

Answer 1

6
分析：首先过点M作MD⊥AB于D，过点M作ME⊥AC于E，由Rt△ABC中，∠BAC=90°，AM为∠BAC的平分线，点M到AC的距离为2，即可得DM=EM=2，四边形ADME是正方形，△BDM∽△BAC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
解答：解：过点M作MD⊥AB于D，过点M作ME⊥AC于E，
根据题意得：ME=2，
∵AM为∠BAC的平分线，
∴MD=ME=2，
∵∠BAC=90°，∠ADM=∠AEM=90°，
∴四边形ADME是矩形，DM∥AC，
∵MD=ME，
∴四边形ADME是正方形，
∴AD=DM=2，
∵AB=3，
∴BD=1，
∵DM∥AC，
∴△BDM∽△BAC，
∴=，
∵S_△BDM=×2×1=1，S_△ABM=AB•DM=×3×2=3，
∴S_△ABC=9，
∴S_△AMC=S_△ABC-S_△ABM=9-3=6．
故答案为：6．
点评：此题考查了角平分线的性质，相似三角形的判定与性质以及正方形的判定与性质等知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．