Question

【题目】我们规定：有一组邻边相等,且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”。如图1,四边形ABCD中,若AB=AD,∠A=，则四边形ABCD是“准筝形”。

(1)如图2,CH是△ABC的高线,∠A=,∠ABC=，AB=2.求CH；

(2) 如图3,四边形ABCD中,BC=2,CD=4,AC=6,∠BCD=，且AD=BD，试判断四边形ABCD是不是“准筝形”，并说明理由。

小红是这样思考的：延长BC至点E，使CE=CD=4，连结DE，则△DCE是等边三角形，再说明△ACD△BED就可以了。请根据小红的思考完成本小题。

(3) 在(1)条件下，设D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积；

Answer 1

【答案】（1）（2）四边形ABCD是“准筝形”，理由见解析；（3）

【解析】

（1）设BH=x，根据∠ABC=表示出CH，在根据∠A=列出方程求解即可；（2）延长BC至点E，使CE=CD=4，连结DE，则△DCE是等边三角形，再证明△ACD≌△BED得到△ABD是等边三角形，即可证明四边形ABCD是“准筝形”；（3）在(1)条件下，D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，分情况讨论①AB=AD=2，∠BAD=60°，②BC=BD=2+2,∠BCD=60°，③AD=CD=AC=HC=3+，∠ADC=60°，分别求出四边形ABCD的面积即可.

(1)设BH=x，

∵∠ABC=120°，CH是△ABC的高线，

∴∠BCH=30°，

∴HC=，

∵∠A=45°，

∴HA=HC，

∵AB=2，

∴=2+x，

解得：x=+1，

∴HC==3+；

(2)四边形ABCD是“准筝形”，

理由：如图所示，延长BC至点E，使CE=CD=4，连结DE，

∵∠BCD=120°，

∴∠DCE=60°，

∴△DCE是等边三角形，

∴ED=CD=4，∠CDE=60°，

∵BC=2，CE=CD=4，AC=6，

∴AC=EB，

在△ACD和△BED中，

∴△ACD≌△BED(SSS)，

∴∠ADC=∠BDE，

∴∠ADB=∠CDE=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴AB=AD，∠BAD=60°，

∴四边形ABCD是“准筝形”；

(3在(1)条件下，D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，分情况讨论，分别求出四边形ABCD的面积：

①如下图AB=AD=2，∠BAD=60°，

作CG垂直BD的延长线于点G，则BD=2，

易得：∠CBG=60°=∠CBH，

在△CBG和△CBH中

∴△CBG≌△CBH(AAS)，

∴GC=HC=3+，

作AK⊥BD于K，则易得：AK=，

∴S△ABD=×2×=，S△CBD=×2×(3+)=3+，

∴四边形ABCD的面积=3+2；

②如下图BC=BD=2+2,∠BCD=60°，

作CG垂直BD的延长线于点G，则BD=2+2，

易得：CG=3+，AK=，

∴S△BCD=×(3+)(2+2)=4+6，

S△ABD=××(2+2)=3+，

∴四边形ABCD的面积=9+5；

③如下图AD=CD=AC=HC=3+，∠ADC=60°，

作DM⊥AC于M，

易得：DM= (3+)= (+)，

∴S△ABC=×2×(3+)=3+，

S△ADC=×(3+)× (+)=6+9，

∴四边形ABCD的面积=12+7，

综上所述，四边形ABCD的面积为