Question

（1）如图，双曲线y=\frac{k}{x}经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA=2AN，△OAB的面积为5，则k的值是______．
（2）如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为______．

Answer 1

解：（1）过A点作AC⊥x轴于点C，如图：
则AC∥NM，
∴△OAC∽△ONM，
∴OC：OM=AC：NM=OA：ON，
而OA=2AN，即OA：ON=2：3，设A点坐标为（a，b），则OC=a，AC=b，
∴OM=a，NM=b，
∴N点坐标为（a，b），
∴点B的横坐标为a，设B点的纵坐标为y，
∵点A与点B都在y=图象上，
∴k=ab=a•y，
∴y=b，即B点坐标为（a，b），
∵OA=2AN，△OAB的面积为5，
∴△NAB的面积为，
∴△ONB的面积=5+=，
∴NB•OM=，
即×（b-b）×a=，
∴ab=12，
∴k=12．
故答案为12．

（2）过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线y=上，
∴四边形AEOD的面积为1，
∵点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为3，
∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3-1=2．
故答案为：2．
分析：（1）过A点作AC⊥x轴于点C，易得△OAC∽△ONM，则OC：OM=AC：NM=OA：ON，而OA=2AN，即OA：ON=2：3，设A点坐标为（a，b），得到N点坐标为（a，b），由点A与点B都在y=图象上，根据反比例函数的坐标特点得B点坐标为（a，b），由OA=2AN，△OAB的面积为5，△NAB的面积为则△ONB的面积=5+=根据三角形面积公式得NB•OM=即×（b-b）×a=，化简得ab=12，即可得到k的值．
（2）根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S=|k|即可判断．
点评：本题主要考查了反比例函数 y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．