Question

如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
      

Answer 1

解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°。
∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°。
又∵OA=OB=4，
∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=。
∴点B的坐标为（﹣2，﹣）。
（2）∵抛物线过原点O和点A．B，
∴可设抛物线解析式为y=ax²+bx，将A（4，0），B（﹣2，﹣）代入，       
得，解得。
∴此抛物线的解析式为。
（3）存在。
如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，
设点P的坐标为（2，y）。

①若OB=OP，则2²+|y|²=4²，解得y=±，
当y=时，
在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=，
∴∠POD=60°
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上。
∴y=不符合题意，舍去。
∴点P的坐标为（2，﹣）。
②若OB=PB，则4²+|y+|²=4²，解得y=﹣。
∴点P的坐标为（2，﹣）。
③若OP=BP，则2²+|y|²=4²+|y+|²，解得y=﹣。
∴点P的坐标为（2，﹣）。
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣）。

解析