Question

【题目】请阅读以下材料，并解决问题：

配方法是数学中重要的一种思想方法. 它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法. 这种方法常被用到代数恒等变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.

（例1）把二次三项式进行配方.

解：-4.

（例2）已知，求和的值.

解：由已知得：

，

即，

所以，

所以.

（1）若可配方成 （为常数），求和的值；

（2）已知实数满足，求的最大值；

（3）已知为正实数，且满足和，试判断以为三边的长的三角形的形状，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）以，，为三边的长的三角形是等腰直角三角形，理由详见解析.

【解析】

（1）把配方后，与比较即可；

（2）把变形为，再把右边配方，即可求出的最大值；

（3）把因式分解可得三角形是以，，a+b为三边的长的等腰三角形；把所给两个式子相加可得以三角形是以，，a+b为三边的长的直角三角形，从而可判定三角形是以，，a+b为三边的长的等腰直角三角形.

（1）因为.

所以，.

（2）解法一：

由可得：

.

.

因为，所以，

即当时，的最大值为.

解法二：

由可得：

，

移项，得

.

因为，所以，

即当时，的最大值为.

（3）以，，a+b为三边的长的三角形是等腰直角三角形，理由如下：

由可得：

，

，

，

因为，，都为正数，

所以，，

所以，即以，，a+b为三边的长的三角形是等腰三角形，

………①

………②

由①②得：

，

，

.

即以，，a+b为三边的长的三角形是直角三角形，

所以以，，a+b为三边的长的三角形是等腰直角三角形.