Question

（2013•济宁三模）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．求证：BD⊥CF；
（3）在（2）小题的条件下，AC与BG的交点为M，当AB=4，AD=

2

时，求线段CM的长．

Answer 1

分析：（1）根据△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，根据角边角关系证出△BAD≌△CAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD=CF；
（2）先设BG交AC于点M，根据（1）证出的△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又根据对顶角相等，得出△BMA∽△CMG，再根据根据相似三角形的对应角相等，可得∠BGC=∠BAC=90°，即可证出BD⊥CF；
（3）首先过点F作FN⊥AC于点N，利用勾股定理即可求得AE，BC的长，继而求得AN，CN的长，又由等角的三角函数值相等，可求得AM的值，从而求出CM的值．

解答：（1）解：BD=CF成立．
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF．

（2）证明：设BG交AC于点M，
∵△BAD≌△CAF，
∴∠ABM=∠GCM，
∵∠BMA=∠CMG，
∴△BMA∽△CMG，
∴∠BGC=∠BAC=90°，
∴BD⊥CF．

（3）过点F作FN⊥AC于点N，
∵在正方形ADEF中，AD=DE=

2

，
∴AE=

AD2+DE2

=2，
∴AN=FN=

1

2

AE=1．
∵在等腰直角△ABC中，AB=AC=4，
∴CN=AC-AN=3，BC=

AB2+AC2

=4

2

，
∴在Rt△FCN中，tan∠FCN=

FN

CN

=

1

3

，
∴在Rt△ABM中，tan∠ABM

AM

AB

=tan∠FCN=

1

3

，
∴AM=

1

3

AB=

4

3

，
∴CM=AC-AM=4-

4

3

=

8

3

．

点评：此题考查了四边形的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识，此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想应用．