题目内容
已知抛物线y=ax2+（a+2）x+2a+1与直线y=2-3x至少有一个交点是整点（直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点），试确定整数a的值，并求出相应的交点（整点）的坐标．
分析：根据抛物线y=ax2+（a+2）x+2a+1与直线y=2-3x至少有一个交点是整点，将两式联立，得出关于x的一元二次方程，再利用根与系数关系得出，进而得出答案．
解答：解：联立
，
得ax2+（a+5）x+2a-1=0（1）
设（1）的两根为x1，x2，
当两根都为整数，则x1•x2=
=2-
为整数，
∴a=±1，
当a=1时，（1）为x2+6x+1=0无整数解，
当a=-1时，（1）为x2-4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3，
对应地y1=-1，y2=-7，
∴a=-1，交点坐标为（1，-1）和（3，-7）．
当其中一个根是整数，
则a=2，同理可得出：交点（-3，11），
a=3，同理可得出：交点 （-1，5）．
|
得ax2+（a+5）x+2a-1=0（1）
设（1）的两根为x1，x2，
当两根都为整数，则x1•x2=
| 2a-1 |
| a |
| 1 |
| a |
∴a=±1，
当a=1时，（1）为x2+6x+1=0无整数解，
当a=-1时，（1）为x2-4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3，
对应地y1=-1，y2=-7，
∴a=-1，交点坐标为（1，-1）和（3，-7）．
当其中一个根是整数，
则a=2，同理可得出：交点（-3，11），
a=3，同理可得出：交点 （-1，5）．
点评：此题主要考查了二次函数与一元二次方程的综合应用，根据已知分类讨论得出，再利用解一元二次方程是解题关键．
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与x轴的另一个交点为E．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（其中b＞0，c＜0）的顶点P在x轴上，与y轴交于点Q，过坐标原点O，作OA⊥PQ，垂足为A，且OA=