Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.

（1）求证：AE与⊙O相切；

（2）当BC=4,cosC=时，求⊙O的半径.

 

Answer 1

【答案】

（1）通过证明OM⊥AE即可证明AE与⊙O相切。    

(2）半径为

【解析】

试题分析：（1）证明：连接OM，则OM=OB

∴∠1=∠2

∵BM平分∠ABC

∴∠1=∠3

∴∠2=∠3

∴OM∥BC

∴∠AMO=∠AEB

在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线

∴AE⊥BC

∴∠AEB=90°

∴∠AMO=90°

∴OM⊥AE

∵点M在圆O上，

∴AE与⊙O相切；

（2）解：在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线

∴BE=BC，∠ABC=∠C

∵BC=4，cos C=

∴BE=2，cos∠ABC=

在△ABE中，∠AEB=90°

∴AB=

=6

设⊙O的半径为r，则AO=6-r

∵OM∥BC

∴△AOM∽△ABE

∴=

∴=

解得r=

∴⊙O的半径为

考点：切线判定 等腰三角的性质 相似三角形的判定和性质 解直角三角形

点评：此题是综合题，考查等腰三角形，平行线，角平分线，直线和圆的位置关系，相似三角形等知识点