题目内容
已知x1，x2是关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）=（p﹣2）（p﹣m）的两个实数根．
（1）求x1，x2的值；
（2）若x1，x2是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．
（1）求x1，x2的值；
（2）若x1，x2是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．
解：（1）原方程变为：x2﹣（m+2）x+2m=p2﹣（m+2）p+2m，
∴x2﹣p2﹣（m+2）x+（m+2）p=0，
（x﹣p）（x+p）﹣（m+2）（x﹣p）=0，
即（x﹣p）（x+p﹣m﹣2）=0，
∴x1=p，x2=m+2﹣p；
（2）根据（1）得到直角三角形的面积为
x1x2=
p（m+2﹣p）=
p2+
（m+2）p=﹣
（p﹣
）2+
，
∴当p=
且m＞﹣2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为
．
∴x2﹣p2﹣（m+2）x+（m+2）p=0，
（x﹣p）（x+p）﹣（m+2）（x﹣p）=0，
即（x﹣p）（x+p﹣m﹣2）=0，
∴x1=p，x2=m+2﹣p；
（2）根据（1）得到直角三角形的面积为
x1x2=p（m+2﹣p）=p2+（m+2）p=﹣（p﹣）2+，∴当p=
且m＞﹣2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为．
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