Question

.如图，已知抛物线 （a≠0）的顶点坐标为（4，），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）.

（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；

（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小，若存在，求AP+CP的最小值;若不存在，请说明理由；

（3）在以AB为直径的⊙M中，CE与⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式.

Answer 1

解：（1）由题意，设抛物线的解析式为（a≠0）.

∵抛物线经过点C（0,2）

∴解得a=

∴，即当y=0时，解得   ∴A（2,0）B（6,0）

（2）存在

     由（1）知，抛物线的对称轴l为x=4,因为A、B两点关于l 对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以，AP+CP=BC的值最小，∵B（6,0），C（0,2），∴OB=6，OC=2  ∴BC==   ∴AP+CP=BC=   ∴AP+CP的最小值为.

(3)连接ME

  ∵CE是⊙O的切线    ∴ME⊥CE,CEM=90º   ∴COD=DEM=90º     由题意，得OC=ME=2，ODC=MDE   ∴ΔCOD≌ΔMED   ∴OD=DE,DC=DM  设OD=x，则CD=DM=OM-OD=4-x， 在RtΔCOD中，   ∴   ∴x=,∴D(,0)  设直线CE的解析式为y=kx+b(k≠0),∵直线CE过C（0,2），D（，0）两点，则解得        ∴直线CE的解析式为y=.