Question

【题目】已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C、D的坐标分别为A（9，0）、C（0，4），D（5，0），点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿O[Math Processing Error] C[Math Processing Error] B[Math Processing Error] A运动，点P的运动时间为t秒.

（1）当t=5时， P点坐标为____________；

（2）当t>4时，OP+PD有最小值吗？如果有，请算出该最小值，如果没有，请说明理由；

（3）当t为何值时，△ODP是腰长为5的等腰三角形？（直接写出t的值）.

Answer 1

【答案】（1）点P的坐标为（1，4）；（2）有最小值，最小值为；（3）t=7或12或14.

【解析】试题分析：

（1）由题意可知，OC=4，故当t=5时，点P在BC上，且PC=5-4=1，由此即可得此时点P的坐标；

（2）如图1，由题意可知，需分两种情况讨论，①当点P在BC上运动时，作点O关于BC的对称点O1，连接DO1，交BC于点P1，此时OP+PD最短，最短值等于DO1；②当点P在AB上运动时，当P与A重合时，OP+PD最短，此时最短值等于AO+AD；分上述两种情况计算，并比较两种情况计算结果的大小，即可得到所求值；

（3）如图2，由题意，需分OD是底边和腰两种情况讨论，①当OD是底边时，点P是OD的垂直平分线与BC的交点P1；②当OD是腰时，以D为圆心，DO为半径作圆，所作圆与BC、AB的交点即为所求P点，由图可知此时，点P有三个位置，分别在图中的P2、P3、P4处；根据四个点P的位置结合已知条件即可求出对应的t的值，并检验此时等腰△ODP的腰长是否为5即可得到答案.

试题解析：

（1）∵点C的坐标为：（0，4），

∴OC=4，

∵当t=5时，OC+CP1=5，

∴CP1=1，

∴此时点P的坐标为：P(1，4）；

（2）如图1，当t＞5时，点P在线段BC上或AB上，此时OP+PD有最小值，现分两种情况讨论如下：

①当点P在BC上时，

作点O关于BC为对称轴的对称点O′，此时O′(0，8)，

连结O′D交BC于P，则OP+PD=O′D=；

②当点P在AB上时，由图可知当点P与点A重合时，OP+PD最小，此时OP+OD=OA+DA=13；

综合①②，∵，

∴ OP+PD的最小值是；

（3）如图2，由题意分OD是底边和腰两种情况讨论如下：

①当OD是底边时，点P是OD的垂直平分线与BC的交点P1，此时CP1=OD=2.5，

又∵OC=4，

∴对应的t1=(OC+CP1)÷1=6.5，

∵此时△ODP的腰长=，

∴此种情况不符合要求；

②当OD是腰时，以D为圆心，DO为半径作圆，所作圆与BC、AB的交点P2、P3、P4为所求P点，过点P3作P3E⊥OA于点E，

由题意可知：OP2=OD=5=DP3=DP4，

∴由勾股定理可得：在Rt△OCP2中，CP2=；在Rt△DP3E中，DE=；在Rt△DP4A中，AP4=；

∴t2=(OC+CP2)÷1=7；t3=(OC+CP3)÷1=12；t4=(OC+BC+AB-AP4)÷1=14；

综上所述，当t的值分别为：t=7或t=12或t=14时，△ODP是腰长为5的等腰三角形.