题目内容

（1）如图1，ABCD是一个正方形花园，要在边AD、DC的E、H处开两个门，且DE=CH，要修建两条小路BE、AF．那么这两条小路长度和位置各有什么关系？并证明你的结论；
（2）如图2，在（1）的图形中，如果要在正方形四边E、H、F、G处各开一个门，并用小路EF、HG连接起来，如果EF⊥GH，求 $数学公式$ 的值；
（3）把（2）中的正方形改为矩形，如图3，AB=a，AD=b，其它条件不变，求 $数学公式$ 的值．

解：（1）BE=AH，BE⊥AH
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠D=90°．
∵DE=CH，
∴AD-DE=CD-CH，
即AE=DH．
∵在△ABE和△DAH中
$\text{[math]}$ ，
∴△ABE≌△DAH（SAS），
∴∠AEB=∠AHD．BE=AH，
∵∠DAH+∠AHD=90°，
∴∠DAH+∠AEB=90°．
∴∠AFE=90°
∴AH⊥BE．
∴BE、AH这两条小路长度和位置分别是BE=AH，BE⊥AH；

（2）如图2，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，
∴∠GMH=∠ENF=90°，AD=GM，EN=CD
∴∠EFN+∠NEF=90°，∠MHG+∠HGM=90°．
∵EF⊥GH，
∴∠EQH=90°．
∴∠EPQ+∠PEQ=90°，∠MGQ+∠EPG=90°，
∴∠PEQ=∠MGQ．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴GM=EN．
在△ENF和△GMH中，
$\text{[math]}$ ，
∴△ENF≌△GMH，
∴EF=GH，
∴ $\text{[math]}$ =1；

（3）如图3，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，
∴∠GMH=∠ENF=90°，AD=GM，EN=CD
∴∠EFN+∠NEF=90°，∠MHG+∠HGM=90°．
∵EF⊥GH，
∴∠EQH=90°．
∴∠EPQ+∠PEQ=90°，∠MGQ+∠EPG=90°，
∴∠PEQ=∠MGQ．
∴△ENF∽△GMH，
∴ $\text{[math]}$ ．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵EN⊥BC，GM⊥CD，
∴EN=AB=a，GM=AD=b，
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）关键正方形的性质就可以求出AE=DH，进而可以得出△ABE≌△DAH，再由全等三角形的性质就可以得出结论；
（2）如图2，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，根据正方形的性质得出△EFN≌△GHM，就可以得出EF=GH，从而得出结论；
（3）如图3，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，根据正方形的性质得出△EFN∽△GHM，就可以得出 $\text{[math]}$ ，从而得出结论；
点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，本题是一道由特殊到一般的试题，利用相似三角形的性质是关键．