题目内容

如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，1），点D是线段BC 上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线 $数学公式$ 交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段0A上时，且 $数学公式$ ．若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O₁A₁B₁C₁，试探究四边形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，1），
∴B（-3，1），
若直线经过点A（-3，0）时，则b= $\text{[math]}$ ，
若直线经过点B（-3，1）时，则b= $\text{[math]}$ ，
若直线经过点C（0，1）时，则b=1，
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤ $\text{[math]}$ ，如图1，
此时E（-2b，0），
∴S= $\text{[math]}$ OE•CO= $\text{[math]}$ ×2b×1=b；
②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即 $\text{[math]}$ ＜b＜ $\text{[math]}$ ，如图2

此时E（-3， $\text{[math]}$ ），D（2-2b，1），
∴S=S_矩-（S_△OCD+S_△OAE+S_△DBE）
=3-[ $\text{[math]}$ （2b-2）×1+ $\text{[math]}$ ×（5-2b）•（ $\text{[math]}$ -b）+ $\text{[math]}$ ×3（b- $\text{[math]}$ ）]
= $\text{[math]}$ b-b²，
∴S= $\text{[math]}$ ；

（2）如图3，设O₁A₁与CB相交于点M，OA与C₁B₁相交于点N，则矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积即为
四边形DNEM的面积．
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形，
根据轴对称知，∠MED=∠NED，

又∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，
由题易知， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，DH=1，
∴HE=2，
设菱形DNEM的边长为a，
则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a²=（2-a）²+1²，
∴a= $\text{[math]}$ ，
∴S_{四边形DNEM}=NE•DH= $\text{[math]}$ ．
∴矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；
（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．
点评：本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖，是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．