Question

【题目】如图1，在直角坐标系第一象限内，与轴重合，，， ，点从点出发，以每秒个单位向点运动，点同时从点出发以每秒3个单位向点运动，当其中有一点到达终点时，另一点立即停止运动．是射线上的一点，且,以为邻边作矩形．设运动时间为秒．

（1）写出点的坐标（ ， ）； ； ．(用的代数式表示)

（2）当点落在上时，求此时的长？

（3）①在的运动过程中，直角坐标系中是否存在点，使得四点构成的四边形是菱形？若存在求出的值，不存在，请说明理由．

②如图2，以为边按逆时针方向做正方形，当正方形的顶点或落在矩形的某一边上时，则 (直接写出答案)．

Answer 1

【答案】（1）; （2）；（3）①存在， ，；②或 或 或

【解析】

（1）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长，根据勾股定理求出OB的长，可得点A的坐标，由P运动的速度可求OP，由Q运动的速度和可求BC；

（2）当点落在上时，，根据30°角的性质求出OD，可得PD=t，进而求出OQ，然后根据即可求出t的值；

（3）①由菱形性质可知，过点作，在Rt△OPG中，求出PG、OG的长，进而求出GQ的长，然后根据列方程求解即可；

②分四种情况求解：ⅰ当点E在CD上时，ⅱ当点E在CD上时，ⅲ当点F在BC上时，ⅳ当点E在BQ上时．

（1）∵，， ，

∴AB=2，

∴OB=．

∵点同时从点出发以每秒3个单位向点运动，点从点出发，以每秒个单位向点运动，

∴OP=3t，BQ=，

∵，

∴BC=2t．

（2）如图：，

，

∴OQ=．

又，

，

，

，

；

（3）①存在，四边形 为菱形，只需要 即可

，

过点作，

，OP=3t，

， ，

，

由有勾股定理：，得：

解得：，；

②ⅰ当点E在CD上时，如图，作PG⊥OB于G，作EM⊥OB于M．

∵四边形PQEF是正方形，

∴PQ=QE，∠PQE=90°，

∴∠GQP+∠MQE=90°，

∵∠GQP+∠GPQ=90°，

∴∠GPQ=∠MQE，

又∵∠PGQ=∠QME=90°，

∴△PGQ≌△QME，

∴GQ=ME=BC．

∵，BQ=t，

∴GQ=BC=2t，

∵OG+GQ+QB=2，

∴+2t+t=2，

解得

；

ⅱ当点E在CD上时，如图，作PG⊥OB于G，作EM⊥OB于M，交CD于N．

与ⅰ同理可证△PGQ≌△QME≌△ENF，

∴GQ=ME，PG=QM=EN，

∵PG=，

∴GQ=，

∴++t=2，

解得

；

ⅲ当点F在BC上时，如图，作PG⊥OB于G，作PI⊥BC于I，

与ⅰ同理可证△PGQ≌△PFI，

∴PI=PG=，

∴+=2，

解得

；

ⅳ当点E在BQ上时，如图，

+t=2，

解得

．

综上可知，或 或 或．