Question

（2010•济南）已知：△ABC是任意三角形．

（1）如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点，求证：∠MPN=∠A．
（2）如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，，点P₁、P₂是边BC的三等分点，你认为∠MP₁N+∠MP₂N=∠A是否正确？请说明你的理由．
（3）如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，，点P₁、P₂、…、P₂₀₀₉是边BC的2010等分点，则∠MP₁N+∠MP₂N+…+∠MP₂₀₀₉N=______．
（请直接将该小问的答案写在横线上）

Answer 1

【答案】分析：（1）由三角形的中位线定理可得到四边形AMPN是平行四边形，故有∠MPN=∠A；
（2）由平行线分线段成比例，可得到四边形MBP₁N、MP₁P₂N、MP₂CN都是平行四边形，有∠MP₁N=∠1，∠MP₂N=∠2，∠BMP₂=∠A，故∠MP₁N+∠MP₂N=∠1+∠2=∠BMP₂=∠A．
（3）类似地，可得到∠MP₁N+∠MP₂N+…+∠MP₂₀₀₉N=∠A．
解答：（1）证明：∵点M、P、N分别是AB、BC、CA的中点，
∴线段MP、PN是△ABC的中位线，
∴MP∥AN，PN∥AM，（1分）
∴四边形AMPN是平行四边形，（2分）
∴∠MPN=∠A．（3分）

（2）解：∠MP₁N+∠MP₂N=∠A正确．（4分）
如图所示，连接MN，（5分）
∵，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴∠AMN=∠B，，
∴MN∥BC，MN=BC，（6分）
∵点P₁、P₂是边BC的三等分点，
∴MN与BP₁平行且相等，MN与P₁P₂平行且相等，MN与P₂C平行且相等，
∴四边形MBP₁N、MP₁P₂N、MP₂CN都是平行四边形，
∴MB∥NP₁，MP₁∥NP₂，MP₂∥AC，
（7分）
∴∠MP₁N=∠1，∠MP₂N=∠2，∠BMP₂=∠A，
∴∠MP₁N+∠MP₂N=∠1+∠2=∠BMP₂=∠A．

（3）解：∠A．
理由：连接MN，
∵，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴∠AMN=∠B，，
∴MN∥BC，MN=BC，
∵P₁、P₂、…、P₂₀₀₉是边BC的2010等分点，
∴MN与BP₁平行且相等，MN与P₁P₂平行且相等，…，MN与P₂₀₀₉C平行且相等，
∴四边形MBP₁N、MP₁P₂N、…、MP₂₀₀₉CN都是平行四边形，
∴MB∥NP₁，MP₁∥NP₂，…，MP₂₀₀₉∥AC，
∴∠MP₁N=∠BMP₁，∠MP₂N=∠P₁MP₂，…，∠BMP₂₀₀₉=∠A，
∴∠MP₁N+∠MP₂N=∠BMP₁+∠P₁MP₂+…+∠P₂₀₀₈MP₂₀₀₉=∠BMP₂₀₀₉=∠A．
点评：本题利用了三角形中位线定理及平行线分线段成比例的性质求解，从三角形的二等分点到n等分点，从特殊到一般，培养学生的探究能力．