Question

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-（x-h）²+2（h＞0）的顶点为M，与x轴负半轴的交点为A，抛物线y=（x+h）²-2的顶点为N，与x轴正半轴的交点为B，若AB=2h，则四边形MANB的面积为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先根据抛物线的解析式分别求A、B两点的坐标，表示AB的长，根据AB=2h，列式可得4h=2$\sqrt{2}$，最后利用面积和可求得结论．

解答 解：y=-（x-h）²+2，
当y=0时，-（x-h）²+2=0，
（x-h）²=2，
x-h=$±\sqrt{2}$，
${x}_{1}=h-\sqrt{2}$，${x}_{2}=h+\sqrt{2}$，
∵A为抛物线与x轴负半轴的交点，
∴A（h-$\sqrt{2}$，0），
∴OA=$\sqrt{2}$-h，
y=（x+h）²-2，
当y=0时，（x+h）²-2=0，
（x+h）²=2，
x+h=$±\sqrt{2}$，
x₁=-h-$\sqrt{2}$，x₂=-h+$\sqrt{2}$，
∵B为抛物线与x轴正半轴的交点，
∴B（-h+$\sqrt{2}$，0），
∴OB=-h+$\sqrt{2}$，
∴AB=OA+OB=2h，
∴2h=$\sqrt{2}$-h+$\sqrt{2}$-h，
4h=2$\sqrt{2}$，
过M作MG⊥x轴于G，过N作NH⊥x轴于H，
由题意得：M（h，2），N（-h，-2），
∴MG=NH=2，
∵S_{四边形MANB}=S_△MAB+S_△NAB=$\frac{1}{2}$AB•MG+$\frac{1}{2}$AB•NH=$\frac{1}{2}$AB•（MG+NH）=$\frac{1}{2}$•2h•（2+2）=4h=2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、一元二次方程的解、四边形和三角形的面积，利用图形与坐标特点表示AB的长，列等式是关键．