Question

（2013年四川泸州2分）如图，在等腰直角△ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论：

（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；（3）CD+CE=OA；（4）AD²+BE²=2OP•OC．其中正确的结论有【　　】

A．1个　　　　　B．2个　　　　　C．3个　　　　　D．4个

 

Answer 1

【答案】

C。

【解析】结论（1）错误。理由如下：

图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE：

由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC。

∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE。

在△AOD与△COE中，∵，∴△AOD≌△COE（ASA）。

同理可证：△COD≌△BOE。

结论（2）正确。理由如下：

∵△AOD≌△COE，∴S_△AOD=S_△COE。

∴S_{四边形CDOE}=S_△COD+S_△COE=S_△COD+S_△AOD=S_△AOC=S_△ABC，

即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍。

结论（3）正确。理由如下：

∵△AOD≌△COE，∴CE=AD。∴CD+CE=CD+AD=AC=OA。

结论（4）正确。理由如下：

∵△AOD≌△COE，∴AD=CE。

∵△COD≌△BOE，∴BE=CD。

在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD²+CE²=DE²，∴AD²+BE²=DE²。

∵△AOD≌△COE，∴OD=OE。

又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形。∴DE²=2OE²，∠DEO=45°。

∵∠DEO=∠COE=45°，∠COE=∠COE，∴△OEP∽△OCE。∴，即OP•OC=OE²。

∴DE²=2OE²=2OP•OC。∴AD²+BE²=2OP•OC。

综上所述，正确的结论有3个。故选C。

考点：等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。