题目内容

如果二次函数y=ax²+2x+c的图象的最高点是M（x₀，y₀），并且二次函数图象过点P（1， $数学公式$ ），若x取x₀±n（n=1，2，3…）时，相应的函数值为y₀- $数学公式$ n²．
（1）求二次函数的解析式并画出图象；
（2）若二次函数图象与x轴的交点为A、B，求△PAB的面积．

解：（1）将P（1， $\text{[math]}$ ），代入y=ax²+2x+c中得a+c+2= $\text{[math]}$ ，
并且a＜0，
∴x₀=- $\text{[math]}$ ，y₀= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴y=ax²+2x+c=a（x+ $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ．
当x=x₀±n时，y=y₀- $\text{[math]}$ n²．
代入y=ax²+2x+c=a（x+ $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$
得：y₀- $\text{[math]}$ n²=a（x₀±n+ $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
整理得：an²+ $\text{[math]}$ n²=0，
解得：a=- $\text{[math]}$ ，
把a=- $\text{[math]}$ 代入a+c+2= $\text{[math]}$ 得：c=0，
∴y=- $\text{[math]}$ x²+2x；

（2）由抛物线解析式可知A（0，0），B（4，0），又P（1， $\text{[math]}$ ），
∴S_△PAB= $\text{[math]}$ ×4× $\text{[math]}$ =3．
分析：（1）二次函数解析式只涉及两个待定系数a，c．把x=1，y= $\text{[math]}$ 及由顶点x₀=- $\text{[math]}$ ，y₀= $\text{[math]}$ ；得x=x₀±n=- $\text{[math]}$ ±n，y=y₀- $\text{[math]}$ n²= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ n²．分别代入二次函数解析式即可；
（2）△PAB的面积=AB×点P的纵坐标÷2．
点评：主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，涉及的字母多，运算有一定难度，在确定了抛物线解析式后，可根据图形及相应点的坐标求面积．