Question

【题目】如图，在平行四边形中，，垂足为点，将平行四边形折叠，使点落在点的位置，点落在点的位置，折痕为.

（1）求证：；

（2）若，求的度数；

（3）连接，求证：四边形是矩形.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）60°（3）见解析

【解析】

（1）根据折叠的性质，得到∠A=∠G，AD=DG，再根据轴对称的性质即可得到AE=FG，进而运用SAS判定△ADE≌△GDF；

（2）根据BD=AB，可得sinA=，进而得到∠A=30°，再根据DF=CF=FG，即可得到∠FDG=∠DGF=∠A=30°，即可得出∠CFG=∠FDG+∠DGF=60°；

（3）连接CG，根据BC=DG，BC∥DG，可得四边形BCGD是平行四边形，再根据∠CBD=90°，即可得到四边形BCGD是矩形．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∠A=∠C，

由折叠可知，BC=DG，CF=FG，∠G=∠C，EF垂直平分BD，

∴∠A=∠G，AD=DG，

又∵AD⊥BD，

∴EF∥AD∥BC，

∴点E、F分别平分AB、CD，

∴AE=BE=AB=CD=CF=DF，

∴AE=FG，

∴△ADE≌△GDF；

（2）∵AE=BD，AE=BE=AB，

∴BD=AB，

∴sinA=，

∴∠A=30°，

∵DF=CF=FG，

∴∠FDG=∠DGF=∠A=30°，

∴∠CFG=∠FDG+∠DGF=60°；

（3）如图，连接CG．

由折叠可知，BC=DG，BC∥DG，

∴四边形BCGD是平行四边形，

∵AD⊥BD，AD∥BC，

∴BC⊥BD，

∴∠CBD=90°，

∴四边形BCGD是矩形．