Question

如图6，用水平线与竖直线将平面分成若干个边长为1的正方形格子，点O、A、B均在正方形格子的顶点(格点)处，其中点O与点A位于同一水平线上，相距a格，点O与点B位于同一竖直线上，相距b格.

(1)若a=5，b=4，则△OAB中(包括三条边)共有多少个格点？

(2)若a，b互质，则在线段AB上(不包括A、B两点)是否有格点？证明你的结论.

(3)若a，b互质，且a＞b＞8，△OAB中(包括三条边)共有67个格点，求a，b的值.

Answer 1

(1)如图2，a=5，b=4，△OAB中(包括三条边)的格点的个数为1+2+3+4+6=16.

　(2)若a，b互质，假设线段AB上存在某一点P(恰为格点)，可设点P到点O的水平距离为x，竖直距离为y(x，y均为整数)，则

　　S_△AOB= S_△AOP+S_△BOP=ay+bx，

　　所以ab=ay+bx，

　　即ab=ay+bx，ay=b(a-x).

　　因为a，b互质，

　　所以a-x是a的倍数，它与a-x＜a矛盾，

　　因此，假设不正确，即线段AB上(除A、B两点外)不存在其它格点.

(3)由(2)知，线段AB上(除A、B两点外)不存在其它的格点.

　　以OA、OB为边作一个矩形OACB，则在△CAB中格点的个数与△OAB中格点的个数相同，且只有A、B两点是公共的，而矩形OACB中格点的个数为(a+1)(b+1).

因此，(a+1)(b+1)+2=2×67=134，

　　(a+1)(b+1)=132=2×2×3×11.

　　由a＞b＞8，得a+1=12，b+1=11，

　　即a=11，b=10.