Question

某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：
P=1000（x+t-8）（x≥8，t≥0）
Q=500

40-(x-8)2

（8≤x≤14）
（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；
（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？

Answer 1

分析：（1）根据当p=Q时市场价格达到市场平衡价格，列出关于x，t的等式即可求出函数关系式，
（2）由x≤10，解出此时的t的取值范围，即为所求．

解答：解：（1）由题已知P=1000（x+t-8）（x≥8，t≥0）；Q=500

40-(x-8)2

（8≤x≤14），
当p=Q时市场价格达到市场平衡价格，此时p=Q=1000（x+t-8）=500

40-(x-8)2

，
化简得：5x ²+（8t-80）x+（4t ²-64t+280）=0，
解得：x=8-

4

5

t±

2

5

50-t2

，
由△=800-16t²≥0，
∴8≤x≤14；
得出：x=

0≤t≤ 50 8≤8- 4 5 t± 2 5 50-t2 ≤ 14

，
解得：0≤t≤

10

，
函数定义域为：0≤x≤10，

（2）为使x≤10，应有：x=8-

4

5

t±

2

5

50-t2

≤10，
化简得：t²+4t-5≥0，又0≤t≤

10

，
∴t≥1．
故政府补贴至少为每千克1元．

点评：本题考查了函数的关系式，难度一般，关键是根据题意正确列出函数关系式．