Question

已知抛物线的函数解析式为y=ax²+bx-3a（b＜0），若这条抛物线经过点（0，-3），方程ax²+bx-3a=0的两根为x₁，x₂，且|x₁-x₂|=4．
（1）求抛物线的顶点坐标．
（2）已知实数x＞0，请证明x+≥2，并说明x为何值时才会有x+=2．

Answer 1

【答案】分析：（1）求抛物线的顶点坐标，需要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a、b的值．已知抛物线图象与y轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到a的值）；然后从方程入手求b的值，题干给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出b的值．
（2）x•=1，因此将x+配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证．
解答：解：（1）∵抛物线过（0，-3）点，∴-3a=-3∴a=1∴y=x²+bx-3
∵x²+bx-3=0的两根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-b，x₁•x₂=-3
∵|x₁-x₂|=4
∴|x₁-x₂|==4
∴
∴b²=4
∵b＜0
∴b=-2
∴y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）
（2）∵x＞0，
∴
∴x+≥2，显然当x=1时，才有x+=2．
点评：本题考查了二次函数的性质，解题过程中完全平方式的变形被多次提及，应熟练掌握并能灵活应用．