题目内容

若a^x=b^y=1994^z（其中a，b是自然数），且有 $数学公式$ + $数学公式$ = $数学公式$ ，则2a+b的一切可能的取值是

A.
1001
B.
1001，3989
C.
1001，1996
D.
1001，1996，3989

CD
分析：先设a^x=b^y=1994^z=k，再用k的幂次方来表示a、b，从而表示ab的积，再结合 $\text{[math]}$ ，以及1994^z=k，可求ab=1994，而1994只能分成2×997，a、b又是自然数，可求出a、b的值，再代入2a+b中，即可求值．
解答：设a^x=b^y=1994^z=k，
∵a^x=b^y=1994^z=k，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =ab，
∴ $\text{[math]}$ =ab，
又∵ $\text{[math]}$ ，k=1994^z，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ab=1994，
又∵1994=2×997，ab是自然数，
∴a=2，b=997或a=997，b=2，
∴2a+b=2×2+997=1001，
或2a+b=2×997+2=1996．
ab=1994，
ab=1994×1，
a=1994，
b=1，
2a+b=2×1994+1=3988+1=3989．
故选D．
点评：本题利用了乘方的逆运算开方运算以及幂的乘方、同底数幂的乘法．