Question

已知，在△ABC中（∠A＜∠B），AB=AC=8，．
（1）求BC的长（如图a）；
（2）P、Q分别是AB、BC上的点，且BP：CQ=2：1，连接PQ并延长，交AC的延长线于点E，设CQ=x，CE=y（如图b）．
①求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域；
②当x为何值时，△PEA是等腰三角形？

Answer 1

解：（1）过点B作BD⊥AC，垂足为点D，
∵在Rt△ADB中，，
∴AD=AB•cosA=7，
∴，
∴在Rt△BDC中，，

（2）①过点P作PF∥BC，交AC于点F，
∴，
∴，
∴PF=4-x，FC=2x，
∵PF∥BC，
∴，
∴，
∴，
②若AP=AE，AP＜8，AE＞8，矛盾，
∴AP=AE不存在，
若AE=PE，则∠A=∠APE，
∵∠APE＞∠B，∠A＜∠B，矛盾，
∴AE=PE不存在，
若AP=EP，过点P作PM⊥AE，垂足为点M，
∴，
∴，
整理得7x+2y=12，
又∵，解得（舍去），
∴当时，△PEF是等腰三角形．
分析：（1）根据题意作辅助线，然后根据勾股定理及余弦即可得出答案，
（2）①根据题意作辅助线，然后根据平行线分线段成比例的性质列出一元二次方程，即可推理得出答案，
②根据题意作辅助线，然后利用假设推理及三角函数即可推理得出答案．
点评：本题主要考查了勾股定理、三角函数、平行线分线段成比例的性质以及解直角三角形，比较综合，难度较大．