Question

【题目】如图，在等腰直角三角形ABC中，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC.上的点(点E不与端点A，C重合)，且连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使，连接DE，DF，GE，GF

(1)求证:四边形EDFG是正方形;

(2)直接写出当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小?最小值是多少?

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4

【解析】

（1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，结合AE=CF可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF=90°，再根据O为EF的中点、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可证出四边形EDFG是正方形；

（2）过点D作DE′⊥AC于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE＜2，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值．

(1)证明:连接CD，如图1所示.

∵为等腰直角三角形，，

D是AB的中点，

∴

在和中，

∴ ，

∴,

∵，

∴，

∴为等腰直角三角形.

∵O为EF的中点，，

∴，且，

∴四边形EDFG是正方形;

(2)解:过点D作于E′，如图2所示.

∵为等腰直角三角形，，

∴，点E′为AC的中点，

∴ (点E与点E′重合时取等号).

∴

∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4