题目内容
（2012•西湖区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为（8，4），（0，4），点C，
D在x轴上，C（t，0），D（t+3，0）（0＜t≤5），过点D作x轴的垂线交线段AB于点E，交OA于点G，连接CE交OA于点F
（1）请用含t的代数式表示线段AE与EF的长；
（2）若当△EFG的面积为
时，点G恰在y=
的图象上，求k的值；
（3）若存在点Q（0，2t）与点R，其中点R在（2）中的y=
的图象上，以A，C，Q，R为顶点的四边形是平行四边形，求R点的坐标．
D在x轴上，C（t，0），D（t+3，0）（0＜t≤5），过点D作x轴的垂线交线段AB于点E，交OA于点G，连接CE交OA于点F（1）请用含t的代数式表示线段AE与EF的长；
（2）若当△EFG的面积为
| 12 |
| 5 |
| k |
| x |
（3）若存在点Q（0，2t）与点R，其中点R在（2）中的y=
| k |
| x |
分析：（1）判断出四边形BODE是矩形，根据矩形的对边相等可得BE、DE的长度，再根据点A、点D的坐标求出AB、BE的长度，然后根据AE=AB-BE，计算即可求出AE，求出CD的长度，然后利用勾股定理求出CE的长度，再根据△OCF和△AEF相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出EF与FC的比值，即可得解；
（2）求出直线OA的解析式，然后求出GD的长度，从而可得EG的长度，过点F作FH⊥GD于点H，根据∠CED的正弦值求出FH的长度，再利用△EFG的面积列式求出t的值，即可得到点D的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式解答即可；
（3）当AC为平行四边形的对角线时，根据中点公式求出平行四边形的中心坐标，再根据中心与点Q的坐标求出点R的坐标，然后根据点R在反比例函数图象上，把点R的坐标代入反比例函数解析式，计算求出t的值，即可得到点R的坐标，当CQ、AQ为平行四边形的对角线时，同理求解即可．
（2）求出直线OA的解析式，然后求出GD的长度，从而可得EG的长度，过点F作FH⊥GD于点H，根据∠CED的正弦值求出FH的长度，再利用△EFG的面积列式求出t的值，即可得到点D的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式解答即可；
（3）当AC为平行四边形的对角线时，根据中点公式求出平行四边形的中心坐标，再根据中心与点Q的坐标求出点R的坐标，然后根据点R在反比例函数图象上，把点R的坐标代入反比例函数解析式，计算求出t的值，即可得到点R的坐标，当CQ、AQ为平行四边形的对角线时，同理求解即可．
解答：解：（1）∵点A，B坐标分别为（8，4），（0，4），DE⊥x轴，
∴四边形BODE是矩形，
∴BE=OD，DE=OB，
又点A（8，4），B（0，4），D（t+3，0），
∴AB=8，BE=t+3，DE=4，
∴AE=AB-BE=8-（t+3）=5-t，
又CD=（t+3）-t=3，
根据勾股定理可得CE=
=5，
∵AB∥CD，∴△OCF∽△AEF，
∴
=
=
，
∴EF=
×5=5-t；
（2）由点A（8，4）容易求出直线OA的解析式为y=
x，
∵点D（t+3，0），
∴GD=
（t+3），
EG=4-
（t+3）=
（5-t），
过F作FH⊥GD，交GD于点H，
sin∠CED=
=
，
即
=
，
解得FH=
（5-t），
S△EFG=
EG•FH=
×
（5-t）×
（5-t）=
（5-t）2=
，
整理得，（5-t）2=16，
解得t1=1，t2=9（不合题意，舍去），
∴GD=
（1+3）=2，
故点G（4，2），
把点G坐标代入反比例函数解析式得，
=2，
解得k=8；
（3）①当AC是平行四边形的对角线时，
∵点A（8，4），C（t，0），
∴平行四边形的中心坐标是（
，2），
∵点Q（0，2t），
∴点R的坐标是（8+t，4-2t），
由（2）可知，反比例函数解析式为y=
，
∵点R在反比例函数图象上，
∴（8+t）（4-2t）=8，
整理得，t2+6t-12=0，
解得t1=-3-
（舍去），t2=-3+
，
∵8+t=8+（-3+
）=5+
，4-2t=4-2（-3+
）=10-2
，
∴点R的坐标为（5+
，10-2
），
②当CQ是平行四边形的对角线时，
∵C（t，0），Q（0，2t），
∴平行四边形的中心坐标是（
，t），
∵点A（8，4），
∴点R的坐标是（t-8，2t-4），
∵点R在反比例函数y=
图象上，
∴（t-8）（2t-4）=8，
整理得，t2-10t+12=0，
解得t1=5+
（舍去），t2=5-
，
∵t-8=5-
-8=-3-
，2t-4=2（5-
）-4=6-2
，
∴点R的坐标是（-3-
，6-2
）；
③当AQ是平行四边形的对角线时，
∵A（8，4），Q（0，2t），
∴平行四边形的中心坐标是（4，2+t），
∵点C（t，0），
∴点R的坐标是（8-t，4+2t），
∵点R在反比例函数y=
图象上，
∴（8-t）（4+2t）=8，
整理得，t2-6t-12=0，
解得t1=3-
（舍去），t2=3+
（舍去），
所以，此时点R不存在，
综上所述，存在点R（5+
，10-2
）或，（-3-
，6-2
），使得以A，C，Q，R为顶点的四边形是平行四边形．
∴四边形BODE是矩形，
∴BE=OD，DE=OB，
又点A（8，4），B（0，4），D（t+3，0），
∴AB=8，BE=t+3，DE=4，
∴AE=AB-BE=8-（t+3）=5-t，
又CD=（t+3）-t=3，
根据勾股定理可得CE=
| 32+42 |
∵AB∥CD，∴△OCF∽△AEF，
∴
| CF |
| EF |
| OC |
| AE |
| t |
| 5-t |
∴EF=
| 5-t |
| 5-t+t |
（2）由点A（8，4）容易求出直线OA的解析式为y=
| 1 |
| 2 |
∵点D（t+3，0），
∴GD=
| 1 |
| 2 |
EG=4-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
过F作FH⊥GD，交GD于点H，
sin∠CED=
| FH |
| EF |
| CD |
| CE |
即
| FH |
| 5-t |
| 3 |
| 5 |
解得FH=
| 3 |
| 5 |
S△EFG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 20 |
| 12 |
| 5 |
整理得，（5-t）2=16，
解得t1=1，t2=9（不合题意，舍去），
∴GD=
| 1 |
| 2 |
故点G（4，2），
把点G坐标代入反比例函数解析式得，
| k |
| 4 |
解得k=8；
（3）①当AC是平行四边形的对角线时，
∵点A（8，4），C（t，0），
∴平行四边形的中心坐标是（
| 8+t |
| 2 |
∵点Q（0，2t），
∴点R的坐标是（8+t，4-2t），
由（2）可知，反比例函数解析式为y=
| 8 |
| x |
∵点R在反比例函数图象上，
∴（8+t）（4-2t）=8，
整理得，t2+6t-12=0，
解得t1=-3-
| 21 |
| 21 |
∵8+t=8+（-3+
| 21 |
| 21 |
| 21 |
| 21 |
∴点R的坐标为（5+
| 21 |
| 21 |
②当CQ是平行四边形的对角线时，
∵C（t，0），Q（0，2t），
∴平行四边形的中心坐标是（
| t |
| 2 |
∵点A（8，4），
∴点R的坐标是（t-8，2t-4），
∵点R在反比例函数y=
| 8 |
| x |
∴（t-8）（2t-4）=8，
整理得，t2-10t+12=0，
解得t1=5+
| 13 |
| 13 |
∵t-8=5-
| 13 |
| 13 |
| 13 |
| 13 |
∴点R的坐标是（-3-
| 13 |
| 13 |
③当AQ是平行四边形的对角线时，
∵A（8，4），Q（0，2t），
∴平行四边形的中心坐标是（4，2+t），
∵点C（t，0），
∴点R的坐标是（8-t，4+2t），
∵点R在反比例函数y=
| 8 |
| x |
∴（8-t）（4+2t）=8，
整理得，t2-6t-12=0，
解得t1=3-
| 21 |
| 21 |
所以，此时点R不存在，
综上所述，存在点R（5+
| 21 |
| 21 |
| 13 |
| 13 |
点评：本题值反比例函数综合题型，主要涉及矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的面积，以及待定系数法求函数解析式的思想，平行四边形的对角线互相平分的性质，（3）利用平行四边形的对角线互相平分求出中心的坐标，再根据线段的中点公式求出点R的坐标是解题的关键，注意要分情况讨论．
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