Question

如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB＝∠F＝90°，∠A＝∠E＝30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．

(1)观察：①如图2、图3，当∠CDF＝0°或60°时，AM＋CK________MK(填“＞”，“＜”或“＝”)；

②如图4，当∠CDF＝30°时，AM＋CK________MK(只填“＞”或“＜”)；

(2)猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM＋CK________MK(填“＞”，“＜”或“＝”)，并说明理由；

(3)如果MK²＋CK²＝AM²，请直接写出∠CDF的度数和的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)①＝　　2分 　　②＞　　2分 　　(2)＞　　2分 　　理由：作点C关于FD的对称点G， 　　连接GK，GM，GD， 　　则CD＝GD，GK＝CK，∠GDK＝∠CDK， 　　∵D是AB的中点，∴AD＝CD＝GD． 　　∵30°，∴∠CDA＝120°， 　　∵∠EDF＝60°，∴∠GDM＋∠GDK＝60°， 　　∠ADM＋∠CDK＝60°． 　　∴∠ADM＝∠GDM　　3分 　　∵DM＝DM， 　　∴△ADM≌△GDM，∴GM＝AM． 　　∵GM＋GK＞MK，∴AM＋CK＞MK　　1分 　　(3)∠CDF＝15°，　　2分 　　参考：由(2)，得GM＝AM，GK＝CK， 　　∵MK2＋CK2＝AM2，∴MK2＋GK2＝GM2，∴∠GKM＝90°， 　　又∵点C关于FD的对称点G，∴∠CKG＝90°，∠FKC＝∠CKG＝45°， 　　又有(1)，得∠A＝∠ACD＝30°，∴∠FKC＝∠CDF＋∠ACD，∴∠CDF＝∠FKC－∠ACD＝15°， 　　在Rt△GKM中，∠MGK＝∠DGK＋∠MGD＝∠A＋∠ACD＝60°，∴∠GMK＝30°， 　　∴＝　∴＝