Question

如图，四边形ABCD为正方形，直角∠POQ的顶点在正方形对角线AC上，直角的两边分别交AB、BC于P、Q两点，OC=2AO，求

OP

OQ

的值．

Answer 1

分析：过O点作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，根据正方形的性质得∠BAC=∠BCA=45°，则可判断△AMO和△CNO都是等腰直角三角形，所以AO=

2

OM，OC=

2

ON，
易得ON=2OM；再利用等角的余角相等得到∠1=∠2，加上∠OMP=∠ONQ=90°，于是可判断△OPM∽△OQN，然后利用相似比计算出

OP

OQ

的值．

解答：解：过O点作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∴△AMO和△CNO都是等腰直角三角形，
∴AO=

2

OM，OC=

2

ON，
而OC=20A，
∴ON=2OM，
∵∠POQ=90°，即∠1+∠3=90°，
而∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠OMP=∠ONQ=90°，
∴△OPM∽△OQN，
∴

OP

OQ

=

OM

ON

=

1

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等，对应角相等．也考查了正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质．