Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（-1，0）和B（4，0），与y轴相交于点C（0，-2）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若点D在此抛物线上，且AD∥CB，在x轴上是否存在点E，使得以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据y=ax²+bx+c经过点A（-1，0），B（4，0）和点C（0，-2）三点，列出三元一次方程组，解出a、b和c即可；
（2）设D点坐标为（x，y），E点坐标为（a，0），根据AD∥BC，两直线斜率相等，列式求出D点的坐标，再证明出△ABC是直角三角形，然后分类讨论：①当∠E是直角时，两三角形相似，根据比例关系求出E点的坐标，②当∠D是直角时，两三角形相似，根据比例关系求出E点的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，-2），
∴

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=-2

，
解得：

a= 1 2 b=- 3 2 c=-2

，
∴抛物线的解析式为y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）设D点坐标为（x，y），E点坐标为（a，0）
∵AD∥CB，
∴两直线的斜率相等，
∴k_AD=k_BC，
∴

y+1

x

=

0-(-2)

4-0

=

1

2

，
∴y+1=

1

2

x，
又∵点D在抛物线上，
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
联立两式解得D点的坐标为（5，3），
连接AC，AC=

5

，BC=2

5

，AB=5，
∵AC²+BC²=AB²，
∴△ACB是直角三角形，
①若Rt△ACB∽Rt△DEA，如图1所示，连接BC，AC，作AD∥BC，作DE⊥x轴于点E，
∵AD∥AC，
∴∠DAB=∠ABC，
∵Rt△ACB∽Rt△DEA，
∴

AC

DE

=

AB

AD

=

BC

AE

，
∴

5

3

=

5

3 5

=

2 5

a+1

，
当a=5时，等式成立，
∴当E点坐标为（5，0）时，Rt△ACB∽RtAED；
②若Rt△ACB∽Rt△EDA，如图2所示，连接BC，AC，作AD∥BC，作DE⊥AD交x轴于点E，
∵AD∥AC，
∴∠DAB=∠ABC，
∵Rt△ACB∽Rt△EDA，
∴

AB

AE

=

BC

AD

，即

2 5

3 5

=

5

a+1

，
解得a=

13

2

，
∴AE=

15

2

，根据勾股定理求出DE=

3 5

2

，
检验：

AC

DE

=

AB

AE

=

2

3

，
∴存在E点坐标（

13

2

，0）使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，
综上这样的点有两个，分别是（5，0），（

13

2

，0）．

点评：本题考查了二次函数、三角形相似、平行线的性质、直线斜率等知识点，解答本题需要较强的综合作答能力，特别是作答（2）问时需要进行分类，这是同学们容易忽略的地方，此题难度较大．