题目内容

如图，已知点A为⊙O内一点，点B、C均在圆上，∠A=∠B=45°，∠C=30°，线段OA= $数学公式$ -1．求阴影部分的面积（结果保留π）

解：延长AO交BC于点D，连接OB．
∵∠A=∠ABC=45°，
∴AD=BD，∠ADB=90°，即AD⊥BC．
∴BD=CD．
在Rt△COD中，设OD=x，
∵∠C=30°，
∴∠COD=60°，OC=2x，CD= $\text{[math]}$ x．
∴∠COB=120°，AD= $\text{[math]}$ x．
∴OA=AD-OD= $\text{[math]}$ x-x=（ $\text{[math]}$ -1）x．
而OA= $\text{[math]}$ -1，
∴x=1，即OD=1，OC=2，BC=2CD=2 $\text{[math]}$ ．
∴S_阴影=S_扇形OBC-S_△COB= $\text{[math]}$ π×2²- $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ ×1= $\text{[math]}$ π- $\text{[math]}$ ．
分析：延长AO交BC于点D，连接OB，由∠A=∠ABC=45°，得到AD=BD，∠ADB=90°，即AD⊥BC．根据垂径定理得到BD=CD．在Rt△COD中，设OD=x，∠C=30°，得到OC=2x，CD= $\text{[math]}$ x=AD，则OA=AD-OD= $\text{[math]}$ x-x=（ $\text{[math]}$ -1）x= $\text{[math]}$ -1，解得x=1，则OD=1，OC=2，BC=2CD=2 $\text{[math]}$ ，分别利用三角形和扇形的面积公式计算S_扇形OBC，和S_△COB，然后利用S_阴影=S_扇形OBC-S_△COB计算即可．
点评：本题考查了扇形的面积公式：S= $\text{[math]}$ （n为圆心角的度数，R为圆的半径）．也考查了含30度得直角三角形三边的关系和三角形的面积公式．