Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以每秒2cm的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以每秒1cm的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）设四边形AFEC的面积为y，用含t的代数式表示y，并探究何时四边形AFEC的面积最小．

Answer 1

分析：（1）由∠D=∠ACB，∠ACD=∠BAC可得证；
（2）运用相似三角形性质计算；
（3）四边形AFEC的面积=△ABC的面积-△BEF的面积．

解答：解：（1）∵AB∥DC，
∴∠ACD=∠BAC．
∵AC⊥BC，
∴∠D=∠ACB=90°．
∴△ACD∽△BAC；

（2）在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，
∴AC=8．
∵△ACD∽△BAC，
∴

DC

AC

=

AC

AB

．
∴DC=

AC2

AB

=

64

10

=

32

5

（cm）；

（3）
作CM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N．
∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CM，
∴CM=

AC•BC

AB

=

48

10

=

24

5

．
∵CM∥EN，
∴

EN

CM

=

BE

BC

，
∴EN=

CM•BE

BC

=

4

5

t．
S_{四边形AFEC}=S_△ABC-S_△BEF
=

1

2

×6×8-

1

2

×（10-2t）×

4

5

t
=24-4t+

4

5

t²，
即 y=

4

5

t²-4t+24．（0＜t＜5）
∵

4

5

＞0，∴y有最小值．
当t=-

-4

2× 4 5

=2.5时，y值最小．

点评：此题考查动态问题中相似三角形的判定与性质和二次函数的综合应用，正确表示△BEF的面积是关键．难度中等．