题目内容

如图，已知：△ABC为边长是 $数学公式$ 的等边三角形，四边形DEFG为边长是6的正方形．现将等边△ABC和正方形DEFG按如图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，△ABC从图1的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿EF方向向右匀速运动，当点C与点F重合时暂停运动，设△ABC的运动时间为t秒（t≥0）．

（1）在整个运动过程中，设等边△ABC和正方形DEFG重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式；
（2）如图2，当点A与点D重合时，作∠ABE的角平分线BM交AE于M点，将△ABM绕点A逆时针旋转，使边AB与边AC重合，得到△ACN．在线段AG上是否存在H点，使得△ANH为等腰三角形．如果存在，请求出线段EH的长度；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，若四边形DEFG为边长为 $数学公式$ 的正方形，△ABC的移动速度为每秒 $数学公式$ 个单位长度，其余条件保持不变．△ABC开始移动的同时，Q点从F点开始，沿折线FG-GD以每秒 $数学公式$ 个单位长度开始移动，△ABC停止运动时，Q点也停止运动．设在运动过程中，DE交折线BA-AC于P点，则是否存在t的值，使得PC⊥EQ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
（2）当点A与点D重合时， $\text{[math]}$ ，
∵BM平分∠ABE，
∴ $\text{[math]}$
∴ME=2，
∵∠ABM=∠BAM，
∴AM=BM=4，
∵△ABM≌△ACN，
∴∠CAN=30°，AN=4
①AN=AH=4时， $\text{[math]}$ ，
②AN=NH=4时，此时H点在线段AG的延长线上，∴舍去，
③AH=NH时，此时H点为线段AG的中垂线与AG的交点，如图1，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．
（3）当0≤t＜2时，如图2，△PEC∽△EFQ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；
当2≤t≤4时，如图3，△PEC∽△QDE，

∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
∴t₁=4， $\text{[math]}$ ．

分析：（1）分两种情况利用三角形的面积公式可以表示出 $\text{[math]}$ 时重叠部分的面积，当 $\text{[math]}$ 时用S_△ABC- $\text{[math]}$ 就可以求出重叠部分的面积．
（2）当点A与点D重合时， $\text{[math]}$ ，再由条件可以求出AN的值，分三种情况讨论求出EH的值，①AN=AH=4时，②AN=NH=4时，此时H点在线段AG的延长线上，③AH=NH时，此时H点为线段AG的中垂线与AG的交点，从而可以求出答案．
（3）再运动中当0≤t＜2时，如图2，△PEC∽△EFQ，可以提出t值；当2≤t≤4时，如图3，△PEC∽△QDF，可以提出t值．
点评：本题考查了求函数的解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用．