Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°，OF⊥AE．
（1）试判断CD与⊙O的关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径为3cm，OF=2cm．求BE的值．

Answer 1

分析：（1）连结OD，先根据圆周角定理得到∠AOD=2∠AED=90°，再由四边形ABCD是平行四边形得到AB∥DC，则OD⊥DC，然后根据切线的判定得到DC为⊙O的切线；
（2）由OF⊥AE，根据垂径定理得到AF=EF，易得OF为△ABE的中位线，软件利用BE=2OF进行计算即可．

解答：解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：
连结OD，
∴∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，
∴OD⊥AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴OD⊥DC，
∴DC为⊙O的切线；

（2）∵OF⊥AE，
∴AF=EF，
而OA=OB，
∴OF为△ABE的中位线，
∴BE=2OF=2×2=4（cm）．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理和平行线四边形的性质．