Question

【题目】如图，在三棱锥ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2 ．
（1）求证：AB1⊥CC1；
（2）若AB1=3 ，D1为线段A1C1上的点，且三棱锥C﹣B1C1D1的体积为 ，求 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：（1）连AC1，CB1，

∵在三棱锥ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，

∴△ACC1和△B1CC1皆为正三角形．

取CC1中点O，连OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，

∵OA∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，

∵AB1平面OAB1，∴CC1⊥AB1

（2）解：（2）∵AC=2 ，AB1=3 ，

∴由（1）知，OA=OB1=3，∴ =AB12，

∴OA⊥OB1，∴OA⊥平面B1C1C，

= = ，

∴ = = ，

∵D1为线段A1C1上的点，且三棱锥C﹣B1C1D1的体积为 ，

∴ = = = ，

∴ = = ．

【解析】（1）证明：连AC1 ， CB1 ， 证明CC1⊥OA，CC1⊥OB1 ， 得到CC1⊥平面OAB1 ， 即可证明CC1⊥AB1 ． （2）推导出OA⊥平面B1C1C，从而 = ，由此能求出 的值．
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能正确解答此题．