Question

4．如图，已知在△ABC中，∠A=90°．
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）在（1）的条件下，若∠B=45°，AB=1，⊙P切BC于点D，求劣弧$\widehat{AD}$的长．

Answer 1

分析 （1）作∠ABC的平分线，与AC的交点就是圆心P，此时⊙P与AB，BC两边都相切；
如图，作BC的垂线PD，证明PD和半径相等即可，根据角平分线的性质可得：PA=PD．
（2）要想求劣弧$\widehat{AD}$的长，根据弧长公式需求圆心角∠APD的半径AP的长，利用四边形的内角和求∠APD=135°，再利用勾股定理和等腰三角形的性质求出AP=PD=DC=$\sqrt{2}$-1，代入公式可求弧长．

解答 解：（1）作法：作∠ABC的角平分线交AC于点P，以点P为圆心，AP为半径作圆．
证明：过P作PD⊥BC于D，
∵∠BAC=90°，
∴⊙P与AB相切，
∵BP平分∠ABC，
∴AP=PD，
∵⊙P的半径是PA，
∴PD也是⊙P的半径，即⊙P与BC也相切；
（2）如图，∵⊙P与AB，BC两边都相切，
∴∠BAP=∠BDP=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠APD=360°-90°-90°-45°=135°，
∴∠DPC=45°，
∴△DPC是等腰直角三角形，
∴DP=DC，
在Rt△ABC中，AB=AC=1，
∴CB=$\sqrt{2}$，
∵BP=BP，AP=PD，
∴Rt△ABP≌Rt△DBP，
∴BD=AB=1，
∴CD=PD=AP=$\sqrt{2}$-1，
∴劣弧$\widehat{AD}$的长=$\frac{135π×（\sqrt{2}-1）}{180}$=$\frac{3\sqrt{2}-3}{4}$π．

点评 本题考查了切线的判定、圆的作图以及弧长的计算，首先掌握切线的判定方法：①无交点，作垂线段，证半径；②有交点，作半径，证垂直；本题利用了第①种判定方法；并熟练掌握弧长计算公式：l=$\frac{nπR}{180}$（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．