Question

如图是一张“3×5”（表示边长分别为3和5）的长方形，现要把它分成若干张边长为整数的长方形（包括正方形）纸片，并要求分得的任何两张纸片都不完全相同．
（1）能否分成5张满足上述条件的纸片？
（2）能否分成6张满足上述条件的纸片？
若能分，用“a×b”的形式分别表示出各张纸片的边长，并画出分割的示意图；若不能分，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先把“3×5”的长方形分割成所有若干张边长为整数的长方形（包括正方形）纸片，再进一步灵活拼凑即可找出解决问题的方案；
（2）利用（1）中分割后的图形进一步分析讨论解决问题．

解答：解：（1）把可分得的边长为整数的长方形按面积从小到大排列，
由1×1，1×2，1×3，1×4，2×2，1×5，2×3，2×4，3×3，2×5，3×4，3×5，若能分成5张满足条件的纸片，
因为其面积之和为15，所以买足条件的有1×1，1×2，1×3，1×4，1×5（如图①）
或1×1，1×2，1×3，2×2，1×5（如图②）；
①②
（2）若能分成6张满足条件的纸片，则其面积之和仍应为15，但上面排在前列的6个长方形的面积之和为1×1+1×2+1×3+1×4+2×2+1×5=19＞15，所以分成6张满足条件的纸片是不可能的．

点评：此题主要利用图形的分割与拼凑解答问题，在具体的解答过程中抓住边长为整数的长方形的面积分析与选择．