Question

2、设p、q为质数，则关于x的方程x²+px+q⁴=0的整数解是

-1，-16

．

Answer 1

分析：根据题意得两根只能是-1与-q⁴，-q与-q³或-q²与-q²．再由两根之和的绝对值为p是质数得q=2，从而得出方程的两根．

解答：解：x²+px+q⁴=0有整数解，则由方程根与系数的关系可知两根均为整数且两根之和为-p，两根之乘积为q⁴，
故两根只能是-1与-q⁴，-q与-q³或-q²与-q²．
另一方面由两根之和的绝对值为p是质数．
由于q+q³=q（q²+1），q²+q²=2q²均不是质数，故两根只能是1与q⁴，要使q⁴+1也为质数，q只能是偶数，又q是质数，
故q=2，此时q⁴+1=17也是质数．
故该方程只有当p=17，q=2时，方程x²+17x+2⁴=0有整数解-1和-16．
故答案为：-1，-16．

点评：本题考查了一元二次方程的整数根和有理根，以及质数和合数，难度较大．