Question

如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

分析：△AMN的面积=

1

2

AP×MN，通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2；

解答：解：（1）当0＜x≤1时，如图，
在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD；
∵MN⊥AC，∴MN∥BD；
∴△AMN∽△ABD，
∴

AP

AO

=

MN

BD

，
即，

x

1

=

MN

1

，MN=x；
∴y=

1

2

AP×MN=

1

2

x²（0＜x≤1），
∵

1

2

＞0，∴函数图象开口向上；
（2）当1＜x＜2，如图，
同理证得，△CDB∽△CNM，

CP

OC

=

MN

BD

，
即，

2-x

1

=

MN

1

，MN=2-x；
∴y=

1

2

AP×MN=

1

2

x×（2-x），
y=-

1

2

x²+x；
∵-

1

2

＜0，∴函数图象开口向下；
综上，答案C的图象大致符合；
故选C．

点评：本题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想．